Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，点（n，S_n）均在函数y=2^x+r（r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）记b_n=na_n（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较2S_n与T_n的大小．

Answer

（1）由“对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=2x+r（r为常数）的图象上”可得到Sn=2n+r，再由通项与前n项和之间的关系可求得结果．
（2）由（1）得到an与Sn（n∈N*），进而利用错位相减法得到数列{bn}的前n项和为Tn，作差比较2Sn与Tn的大小即可．
【解析】
（1）因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=2x+r（r为常数）的图象上．
所以得Sn=2n+r，
当n=1时，a1=S1=2+r，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+r-（2n-1+r）=2n-2n-1=2n-1，
又因为{an}为等比数列，所以a1=1=2+r
故r=-1；
（2）由（1）可知，an=2n-1，Sn=2n-1，n∈N*
又由bn=nan（n∈N*），则bn=n2n-1（n∈N*），
则数列{bn}的前n项和为Tn=1×2+2×21+3×22+4×23+…+（n-1）×2n-2+n×2n-1       ①
                   2Tn=1×21+2×22+3×23+4×24+…+（n-1）×2n-1+n×2n         ②
①-②得到：-Tn=2+21+22+23+…+2n-2+2n-1-n×2n=     
即
所以
当n=1时，Tn-2Sn=-1，∴Tn＜2Sn；
当n=2时，Tn-2Sn=-1，∴Tn＜2Sn；
当n＞2时，Tn-2Sn＞0，∴Tn＞2Sn．
综上，当n=1，2时，Tn＜2Sn；当n＞2时，Tn＞2Sn．