Question

已知函数f（x）=ax²，g（x）=2elnx，（e为自然对数的底数）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求其最值；
（2）是否存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）对F（x）求导数，得F'（x）=，x＞0．然后分a的正负进行讨论，可得函数的单调性，从而得到当a≤0时，F（x）没有最值；当a＞0时，F（x）有最小值F（）=elna，没有最大值．
（2）由（1）的计算结合，可得若存在正常数a满足题中的条件，则必定有F（x）的最小值等于0．由此解出a=1，且f（）=g（）=e，得到函数图象的公共点为（，e），再算出f'（）=g'（）=2，可知f（x）与g（x）在x=处有公共的切线，从而得到得存在正常数a=1能够满足题中的条件．
【解析】
（1）求导数得
F'（x）=f'（x）-g'（x）=2ax-=．（x＞0）
①当a≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立
此时，F（x）在（0，+∞）上为减函数，没有最值；
②当a＞0时，解方程F'（x）=0，得x=
在（0，）上F（x）为减函数，在（，+∞）上F（x）为增函数
因此F（x）在（0，+∞）上有最小值F（）=e-2eln=elna；没有最大值
综上所述，当a≤0时，F（x）没有最值；
当a＞0时，F（x）有最小值F（）=elna，没有最大值．
（2）假设存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
则函数y=F（x）有且仅有一个零点
结合（1）的结论，可得只需F（x）的最小值等于0
因此有a＞0，且elna=0，解得a=1
[F（x）]min=f（）-g（）=0，即f（）=g（）=e
∴f（x）与g（x）图象的公共点为（，e）
又∵f'（）=g'（）=2
∴f（x）与g（x）的图象在（，e）处有公共的切线
切线方程为y-e=2（x-），即y=2x-e
综上所述，得存在正常数a=1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
且在该公共点处有共同的切线，公切线方程为y=2x-e．