Question

设F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以|F₁F₂|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则该椭圆的离心率为    ．

Answer

先根据题意和圆的性质可判断出△PF1F2为直角三角形，根据∠PF1F2=5∠PF2F1，推断出∠PF1F2=75°，进而可求得PF1和PF2，利用椭圆的定义求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
【解析】
由题意△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∠PF1F2=75°，F1F2=2c，
∴|PF1|=2ccos75°，|PF2|=2ccos15°，
由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2c（cos75°+cos15°）=2c=c=2a，
∴离心率为e===．
故答案为：