Question

已知函数f（x）=x²-2ax+3，命题P：f（x）在区间[2，3]上的最小值为f（2）；命题Q：方程f（x）=0的两根x₁，x₂满足x₁＜-1＜x₂．若命题P与命题Q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．

Answer

结合二次函数的性质可得，f（x）=（x-a）2+3-a2，对于命题 P：由f（x）在区间[2，3]上的最小值为f（2）可求a的范围；对于命题Q：方程f（x）=0的两根x1，x2满足x1＜-1＜x2，则可得f（-1）＜0，可求a的范围，若P或Q中只有一个为真可知有两种情况：①P真，Q假，②P假，Q真，分别可求a的范围
【解析】
f（x）=（x-a）2+3-a2，对称轴x=a，
对于命题 P：∵f（x）在区间[2，3]上的最小值为f（2），∴a≤2；
对于命题Q：方程f（x）=0的两根x1，x2满足x1＜-1＜x2，∴f（-1）＜0，∴a＜-2
∴当P真，Q假时，∴-2≤a≤2
当P假，Q真时，∴a∈Φ
综上，a的取值范围是[-2，2]．