Question

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，两准线间的距离为，并且与直线相交所得线段中点的横坐标为，求这个双曲线方程．

Answer

设求双曲线方程为：（a＞b＞0），直线 y=（x-4）与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），将二者联立，结合线段中点的横坐标为，可求得线段中点的纵坐标为-，再利用韦达定理可求得b2，c2与a2之间的关系，再由两准线间的距离为，可求得这个双曲线方程．
【解析】
由题意可设所求双曲线方程为：，
设直线 y=（x-4）与双曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则（1）-（2）得：
即，
又由线段AB中点的横坐标为可得，其纵坐标为，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
又∵双曲线两准线间的距离为，
∴，
∴
∴a=3，a2=9，c2=a2=16．
∴b2=c2-a2=7．
∴所求双曲线方程为：．