Question

已知定点A（0，-1），点B在圆F：x²+（y-1）²=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q：x²-2ax+y²+a²=1被轨迹E包围着，求实数a的最小值．

Answer

（1）由题意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根据椭圆的定义可求得动点P的轨迹E的方程；
（2）根据椭圆的几何性质（有界性），可求得实数a的最小值；
【解析】
（1）由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为（a＞b＞0），
则2a=4，a=2，a2-b2=c2=1，故b2=3，
∴点p的轨迹方程为
（2）曲线Q：x2-2ax+y2+a2=1化为（x-a）2+y2=1，则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆．
而轨迹E：为焦点在y轴上的椭圆，短轴上的顶点
∵曲线Q被轨迹E包围着，则-+1≤a≤-1
∴a的最小值为-+1．