Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）．
（1）设x₁是f（x）的一个极大值点，x₂上g（x）的一个极小值点，求|x₁-x₂|的最小值；
（2）若f′（α）=g′（α），求的值．

Answer

（1）根据x1是f（x）的一个极大值点，x2上g（x）的一个极小值点，推出x1、x2的关系，得到|x1-x2|的表达式，然后求出最小值；
（2）求出函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）的导函数，利用f′（α）=g′（α），求出2α+φ的值，再求的表达式，代入2α+φ值，即可解得所求表达式的值．
【解析】
（1）由题意，得2x1+φ=2k1π+，2x2+φ=2k2π+π，k1∈Z，k2∈Z（2分）
于是|x1-x2|=|（k1-k2）π-，当k1=k2时等号成立．（4分）
所以|x1-x2|的最小值为．（6分）
（2）因为f′（x）=2cos（2x+φ），g′（x）=-2sin（2x+φ），（8分）
由f′（α）=g′（α），得cos（2α+φ）=-sin（2α+φ），即tan（2α+φ）=-1，
所以2α+φ=kπ-，（k∈Z），（10分）
所以=（12分）
当k为偶数时，；当k为奇数时，．（14分）