Question

已知函数f（x）=（x≠0，a＞0，c＞0），当x∈（0，+∞）时，函数f（x）在x=2处取得最小值1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞0，解关于x的不等式（3k+1）-4f（x）＞．

Answer

（1）根据函数f（x）在x=2处取得最小值1，可知f（2）=1，f′（2）=0，可解得a、c的值，可知函数f（x）的解析式；
（2）把（1）求得的f（x）代入不等式，解关于x的不等式，转化为整式不等式求解．
【解析】
（1）∵a＞0，c＞0，
∴当x＞0时，f（x）=
当x=即x=时，函数f（x）取得最小值，
由题意
∴f（x）=（x≠0）
（2）（3k+1）-4f（x）＞⇔＜0
∵k＞0
∴k+1＞k＞0
①当0＜k＜1时，0＜2k＜k+1，原不等式解集为（-∞，0）∪（2k，k+1）
②当k＞1时，0＜k+1＜2k，原不等式解集为（-∞，0）∪（k+1，2k）
③当k=1时，0＜2k=k+1，原不等式解集为（-∞，0）