Question

函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；
（2）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（3）设时，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求导：，令导数大于或小于等于零，分离参数，转化为求函数的最值问题，从而求得b的取值范围；
（2）根据题意对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），即说明f（1）是函数的最小值也是极小值，因此有f′（1）=0，从而求得b的值；
（3）要使不等式成立，即求两个函数的函数值相差最大不能超过，因此利用导数分别求得两函数的值域即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）（x＞-1），
由题意，f′（x）≥0在（-1，+∞）内恒成立，或f′（x）≤0在（-1，+∞）内恒成立．
若f′（x）≥0，则2x2+2x+b≥0，即b≥-2x2-2x=-2（x+）2+恒成立，
显然，-2（x+）2+在（-1，+∞）内的最大值为，所以b；
f′（x）≤0，则2x2+2x+b≤0，
显然，该不等式在（-1，+∞）内不恒成立；
综上，所求b的取值范围为[，+∞）；
（2）由题意，f（1）是函数的最小值也是极小值．
因此f′（1）=2+=0，解得b=-4，
经验证b=-4符合题意；
（3）首先研究f（x），g（x）在[0，1]上的性质，
由（1），当b=时，函数f（x）=x2+bln（x+1）在（-1，+∞）内单调递增，从从而f（x）在[0，1]上单调递增，
因此，f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=0，最大值为f（1）=1+，
g′（x）=3（x2-a2），由a＞1，知当x∈[0，1]时，g′（x）=3（x2-a2）＜0，
因此g（x）=x3-3a2x+a2-2a在[0，1]上单调递减．
∴g（x）max=g（0）=a2-2a，g（x）min=g（1）=1-2a2-2a，
∵a＞1，∴g（x）min=g（1）=1-2a2-2a＜0，
①若g（x）max=g（0）=a2-2a≥0，即a≥2时，两函数在[0，1]上有交点，此时a≥2显然满足条件；
②若g（x）max=g（0）=a2-2a＜0，即1＜a＜2，f（x）的图象在上，g（x）的图象在下，
只需f（x）min-g（x）max＜，即f（0）-g（0），
即-（a2-2a），
解得1+．
综上，所求实数a的取值范围（1+，+∞）．