Question

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

Answer

（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，说明函数f（x）与g（x）有共同的零点，即g（x）的零点也在函数f（x）的图象上，代入易求出a值．
（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则将直线方程代入抛物线方程后，对应的二次方程有两不等的实数根，再将△OAB的面积函数表示出来，根据函数的性质，易得最值及对应的a值．
（3）综合零点的性质和不等式的性质，不难证明当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a
【解析】
（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），
又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，
∴a3+a2=0．
而a≠0，
∴a=-1
（Ⅱ）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x-a，
整理，得ax2+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）2-4a2=-3a2-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜且a≠0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，
x1•x2=1＞0，．
设点o到直线g（x）=x-a的距离为d，
则，．
∴S△OAB=
=．
∵-1＜a＜且a≠0，
∴当时，S△OAB有最大值，S△OAB无最小值．
（Ⅲ）由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．
∵，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
∴当x∈（0，p）时，f（x）-g（x）＞0，
即f（x）＞g（x）．
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
综上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．