Question

已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．

Answer

（1）由题意可得 1+-2，哟此解得a的值．
（2）由（1）可得fx）=x+，求得它的定义域关于原点对称．再由f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数，利用函数的单调性的定义证明函数在区间（1，+∞）上是增函数．
【解析】
（1）由题意可得 1+-2，解得a=1．
（2）由（1）可得fx）=x+，它的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
再由f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数．
证明：设x2＞x1＞1，可得f（x2）-f（x1）=（）-（）=x2-x1+=（x2-x1）（1-）．
由题设可得x2-x1＞0，＜1，故 1-＞0，∴f （x2）-f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1），
故函数在区间（1，+∞）上是增函数．