Question

已知函数f（x）=lg[H（x）]，且H（x）=，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）在区间[2，4]上的最小值；
（3）已知m∈R，命题p：关于x的不等式H（x）≥m²+2m-3对函数f（x）的定义域上的任意x恒成立；命题q：指数函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由＞0，而x2+3x+6＞0恒成立即可得函数f（x）的定义域；
（2）依题意，当x∈[2，4]时，由H（x）==x+1++1≥，即可求得函数f（x）在区间[2，4]上的最小值；
（3）当命题p为真时，可求得-4≤m≤2；当命题q为真时，可求得m＞或m＜-；由“p或q”为真，“p且q”为假，可分类讨论，求得m的取值范围．
【解析】
（1）由＞0，x2+3x+6＞0恒成立得：x+1＞0即x＞-1，
∴f（x）的定义域为：（-1，+∞）．
（2）由H（x）===x+1++1，x∈[2，4]得：
H（x）在[2，4]上单调递增；
∴H（x）=x+1++1≥H（2）=，
∴f（x）min=lg[H（x）min]=lg-4lg2-lg3；
（3）由在函数f（x）的定义域上 的任意x，H（x）=x+1++1≥2+1=5，当且仅当x+1=，即x=1时等号成立．
当命题p为真时，m2+2m-3≤5即-4≤m≤2；而命题q为真时：指数函数m2-1＞1，即m＞或m＜-．
因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以
当命题p为真，命题q为假时，{m|-4≤m≤2}∩{m|-≤m≤}={m|-≤m≤}；
当命题p为假，命题q为真时，{m|m＜-4或m＞2}∩{m|m＜-或m＞}={m|m＜-4或m＞2}，
所以m的取值范围为：（-∞，-4）∪[-，]∪（2，+∞）．