Question

定义：同时满足下列两个条件的数列{a_n} 叫做“上凸有界数列”，①②a_n≤M，M是与n无关的常数．
（I）若数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，试判断数列{a_n} 是否为上凸有界数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，T_n为其前n项和，且b₃=4，T₃=18，试证明：数列{T_n}为上凸有界数列．

Answer

（I）利用公式an=求得数列{an}的通项公式，易知此数列不满足条件②
（II）设设{bn}的公差为d的公差为d，列方程求得首相和公差，得{bn}的通项公式，进而求和得Tn，利用作差法可证的满足条件①，利用数列的函数性质，可证得满足条件②
【解析】
（I）n=1时，a1=s1=2-1=1
n≥2时an=sn-sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2n-1
∴an=2n-1
显然an=2n-1是递增数列，故不存在常数M，使an≤M成立
∴数列{an} 不是上凸有界数列
（II）设{bn}的公差为d，则

解得b1=8，d=-2
∴Tn=8n+=-n2+9n
∵====-1＜0
∴，即{Tn}满足条件①
又Tn=-n2+9n=-（n-）2+
当n=4或5时Tn取最大值20，即Tn≤20，满足条件②
综上数列{Tn}为上凸有界数列