Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）求函数F（x）=f（x）•f′（x）+f²（x）的最小正周期；
（2）若f（x）=2f′（x），求的值．

Answer

（1）根据导数公式求出导函数，然后利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而用周期公式做出周期；
（2）由于f（x）=2f′（x），得到，将原式化为切函数．
【解析】
（1）∵f'（x）=cosx-sinx，
∴f'（x）=cosx-sinx=-sin（x+），
F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），
所以F（x）的最小正周期为T=π
（2）由于f（x）=2f′（x），则sinx+cosx=2（cosx-sinx）
故3sinx=cosx
即
原式==