Question

设有抛物线C：y=-x²+x-4，通过原点O作C的切线y=kx，使切点P在第一象限．
（1）求k的值；
（2）过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

Answer

（1）切线与抛物线仅一个交点，方程组有唯一解，判别式等于0．
（2）点斜式写出垂线方程，代入抛物线方程，求交点Q的坐标．
【解析】
（1）设点P的坐标为（x1，y1），则y1=kx1①
y1=-x12+x1-4②
①代入②得x12+（k-）x1+4=0．
∵P为切点，
∴△=（k-）2-16=0得k=或k=．
当k=时，x1=-2，y1=-17．
当k=时，x1=2，y1=1．
∵P在第一象限，∴所求的斜率k=．
（2）过P点作切线的垂线，其方程为y=-2x+5③
将③代入抛物线方程得x2-x+9=0．
设Q点的坐标为（x2，y2）．则x2+2=
∴x2=，y2=-4，∴Q（，-4）