Question

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域的内部及边界上运动，则
（1）不等式组所确定的平面区域的面积为1；
（2）使得目标函数z=b-a取得最大值的最优解有且仅有一个；
（3）目标函数的取值范围是[-2，2]；
（4）目标函数p=a²+b²-2b+1的最小值是．
上述说法中正确的是    （写出所有正确选项）

Answer

由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于-1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积及相应的目标函数的最值即得．如对于（3），先由条件求出k=1，m=-1，再画出对应的平面区域，把看成平面区域内的点与（1，2）连线的斜率，利用图形可得结论．
【解析】
∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，
∴k=1，又圆心在直线x+y=0上
∴
∴m=-1
∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，
（1）△AOB为不等式所表示的平面区域，
联立 解得B（-1，1），A（-2，0），
所以S△AOB=×|-2|×|-1|=1．
故（1）正确；
（2）作出目标函数z=b-a平行的直线，将其平移
当直线z=b-a过直线x-y+2=0上的任一点时，z最大，
故（2）错；
（3）如图
又因为表示点P（a，b）与点（1，2）连线的斜率．
故当过点B（-1，1）时，取最小值-．
当过O（0，0）时，取最大值2．
故答案为：[-，2]．故（3）错；
（4）p=a2+b2-2b+1=a2+（b-1）2-表示区域内的点N到点M（0，1）的距离的平方，
由图得：只有当过M作直线x+y=0的垂线时，M（0，1）到平面区域内任一点的距离才最小．
而M与直线x+y=0的距离为：d=．
∴|d|2=．即目标函数p=a2+b2-2b+1的最小值是．
故（4）正确．
故答案为：（1），（4）．