Question

如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）  

（Ⅰ）试判断函数f（x）=x³+在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）在D上既有上界又有下界，则称函数f（x）在D上有界，函数f（x）叫做有界函数．试探究函数f（x）=ax³+（a＞0，b＞0a，b是常数）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常数）上的有界函数？

Answer

（I）函数f（x）=x3+在（0，+∞）上有下界32．利用导数或基本不等式求极小值能够进行判断．
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．利用函数在（-∞，0）上有下界及其奇偶性即可得出结论；
（Ⅲ）求导，利用导数研究其单调性，再对字母m的值进行分类讨论，即可得到函数是[m，n]上的有界函数．
【解析】
（Ⅰ）
解法1：∵，由f'（x）=0得，x4=16，∵x∈（0，+∞），
∴x=2，-----------------------------（2分）
∵当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；
当x＞2时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，
∴对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，------------------------------------（4分）
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对∀x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数在（0，+∞）上有下界．-----------------------------（5分）
[解法2：∵x＞0∴
当且仅当即x=2时“=”成立
∴对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
即在区间（0，+∞）上存在常数A=32，使得对∀x∈（0，+∞）都有f（x）≥A成立，
∴函数在（0，+∞）上有下界．]
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：
定义在D上的函数f（x），如果满足：对∀x∈D，∃常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界．------------------------------（7分）
设x＜0，则-x＞0，由（Ⅰ）知，对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≥32，
∴f（-x）≥32，∵函数为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）≥32，∴f（x）≤-32
即存在常数B=-32，对∀x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，
∴函数在（-∞，0）上有上界．----------------------------（9分）
（Ⅲ）∵，
由f'（x）=0得，∵a＞0，b＞0
∴，∵[m，n]⊂（0，+∞），∴，--------------------------------（10分）
∵当时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，）上是减函数；
当时，f'（x）＞0，∴函数f（x）在（，+∞）上是增函数；
∴是函数的在区间（0，+∞）上的最小值点，------------------------------（11分）
①当时，函数f（x）在[m，n]上是增函数；
∴f（m）≤f（x）≤f（n）
∵m、n是常数，∴f（m）、f（n）都是常数
令f（m）=A，f（n）=B，
∴对∀x∈[m，n]，∃常数A，B，都有A≤f（x）≤B
即函数在[m，n]上既有上界又有下界-------------------------（12分）
②当 时函数f（x）在[m，n]上是减函数
∴对∀x∈[m，n]都有f（n）≤f（x）≤f（m）
∴函数在[m，n]上有界．-------------------------（13分）
③当时，函数f（x）在[m，n]上有最小值f（x）min=
令，令B=f（m）、f（n）中的最大者
则对∀x∈[m，n]，∃常数A，B，都有A≤f（x）≤B
∴函数在[m，n]上有界．
综上可知函数是[m，n]上的有界函数--------------------（14分）