Question

四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求BP与平面PAC所成角的大小．

Answer

（1）利用线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，即可得出结论；
（2）设AC∩BD=O，连接OP，则∠BPO是BP与平面PAC所成角，即可得出结论．
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC
∵PC⊂平面PAC
∴BD⊥PC；
（2）【解析】
设AC∩BD=O，连接OP，则
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
∴BO⊥AC，BO⊥PA
∵AC∩PA=A
∴BO⊥平面PAC，
∴∠BPO是BP与平面PAC所成角，
∵PA=AB=2
∴PB=2，OB=
∴sin∠BPO=
∴∠BPO=30°
即BP与平面PAC所成角是30°．