Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=aⁿ-1（a是不为0的实数），那么{a_n}（ ）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

Answer

由题意可知，当a=1时，Sn=0，判断数列是否是等差数列；当a≠1时，利用 ，判断数列{an}是等差数列还是等比数列．
【解析】
①当a=1时，Sn=0，
且a1=a-1=0，
an=Sn-Sn-1=（an-1）-（an-1-1）=0，（n＞1）
an-1=Sn-1-Sn-2=（an-1-1）-（an-2-1）=0，
∴an-an-1=0，
∴数列{an}是等差数列．
②当a≠1时，
a1=a-1，
an=Sn-Sn-1=（an-1）-（an-1-1）=an-an-1，（n＞1）
an-1=Sn-1-Sn-2=（an-1-1）-（an-2-1）=an-1-an-2，（n＞2）
，（n＞2）
∴数列{an}是等比数列．
综上所述，数列{an}或是等差数列或是等比数列．
故选C．