Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC₁．

Answer

设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C1P，易证C1P⊥BD，MP⊥BD，通过计算可证得=+MP2，从而证得C1P⊥MP，利用面面垂直的判定定理即可证得结论．
证明：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，作图如下：

不妨设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C1P，
∵△C1BD为边长为的等边三角形，点P为BD的中点，
∴C1P⊥BD，且C1P=C1Dsin60°=×=；
同理，在等腰三角形BMD中，MP⊥BD；①
∴直角三角形MPD中，MD==，PD=，
∴MP===；
又C1M===；
在△C1MP中，MP=，C1P=，C1M=，
∴=+MP2，
∴△C1MP为直角三角形，C1P⊥MP，②
由①MP⊥BD，②C1P⊥MP，C1P∩BD=P，
∴MP⊥平面BDC1．
又MP⊂平面MBD，
∴平面MBD⊥平面BDC1．