Question

求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．

Answer

如图所示：在平面γ内，除点O外，任意取一点M，过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，证明a⊥平面γ．再由b、c在平面γ内，可得a⊥b，a⊥c．同理可证，c⊥b，
c⊥a，从而得出结论．
【解析】
设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，三个平面的公共点为O，如图所示：
在平面γ内，除点O外，任意取一点M，且点M不在这三个平面中的任何一个平面内，
过点M作MN⊥c，MP⊥b，M、P为垂足，
则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α，MP⊥β，∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．                                       
再由b、c在平面γ内，可得a⊥b，a⊥c．同理可证，c⊥b，c⊥a，从而证得a、b、c互相垂直．