法一:
(1)取AC中点D,连接SD、DB.由SA=SC,AB=BC,知SD⊥AC,BD⊥AC,由此能够证明AC⊥SB.
(2)由AC⊥平面SDB,AC⊂平面ABC,知平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E,则NE⊥平面ABC,过E作EF⊥CM于F,连接NF,则NF⊥CM,∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.由此能求出二面角N-CM-B的正切值.
(3)在Rt△NEF中,由,知,.由VB-CMN=VN-CMB,能求出点B到平面CMN的距离.
法二:
(1)取AC中点O,连接OS、OB.由SA=SC,AB=BC,知AC⊥SO,AC⊥BO.所以SO⊥平面ABC,SO⊥BO.以D为原点,DA为x轴,DB为y轴,DS为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,则,,由此能证明AC⊥SB.
(2)由,,设为平面CMN的一个法向量,由,得.由向量法能求出二面角N-CM-B的正切值.
(3)由,为平面CMN的一个法向量,能求出点B到平面CMN的距离.
解法1:(1)取AC中点D,连接SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC∴SD⊥AC,BD⊥AC,
∴AC⊥平面SDB,又SB⊂平面SDB,
∴AC⊥SB.…(4分)
(2)∵AC⊥平面SDB,AC⊂平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,则NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连接NF,
则NF⊥CM,∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,
∴SD⊥平面ABC.
又NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,
∴,且ED=EB.
在正△ABC中,,
在Rt△NEF中,
∴二面角N-CM-B的正切值为.…(8分)
(3)在Rt△NEF中,,
∴,
.
设点B到平面CMN的距离为h,
∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,
∴,
∴.
即点B到平面CMN的距离为.…(14分)
解法2:(1)取AC中点O,连接OS、OB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,
平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz,
则A(2,0,0),,C(-2,0,0),,
∴,,
∵,
∴AC⊥SB.…(6分)
(2)∵,,
又C(-2,0,0),∴,.
设为平面CMN的一个法向量,
则,
取z=1,,,
∴.
又为平面ABC的一个法向量,
∴,
得
∴.
即二面角N-CM-B的正切值为.…(10分)
(3)由(1)(2)得,
又为平面CMN的一个法向量,,
∴点B到平面CMN的距离.…(14分)