Question

二面角α-l-β的平面角为120°，在 平面 α内，AB⊥l于B，AB=3，在平面β内，CD⊥l于D，CD=4，BD=5，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为    ．

Answer

如图所示，①设点M位于BD之间，令BM=x，则DM=5-x．于是AM=，CM=，
利用基本不等式即可得AM+CM=，当且仅当，解得x=3.2时取等号．
【解析】
如图所示，①设点M位于BD之间，令BM=x，则DM=5-x．
于是AM=，CM=，
∴AM+CM=，当且仅当，解得x=3.2时取等号．
∴AM+CM的最小值为=．
②当M位于直线l上除去线段BD时，可得AM+CM＞，AM+CM，
而，，
∴此时AM+CM＞．
综上①②可知：当点M位于BD之间且BM=3.2时，AM+CM取得最小值．
故答案为．