Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，连接AC交MN于P，现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角

（I）若M为AD中点时，求异面直线MN与AC所成角；
（Ⅱ）证明：当MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）当点M在怎样的位置时，点M到面ACD的距离最大？并求出这个最大值．

Answer

（I）MN∥DC，DC⊥平面ADM，则∠ACD为异面直线MN与AC所成角，利用正切函数，可得结论；
（II）利用余弦定理，可求∠APC大小；
（Ⅲ）由题意，平面ACD⊥平面AMD，则过M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，故ME为点M到面ACD的距离，利用等面积，即可求解．
（I）【解析】
由题意，MN∥DC，DC⊥平面ADM，则∠ACD为异面直线MN与AC所成角
∵DM=AM=2，DM⊥AM
∴AD=
∴tan∠ACD=
∴∠ACD=arctan；
（II）证明：设MP=a，则AM=2a，DM=4-2a，
∴AP=a，PC==，AC==
∴cos∠APC==-为定值，
∴MN在直角梯形内保持MN∥AB作平行移动时，折后所成∠APC大小不变；
（Ⅲ）【解析】
由题意，平面ACD⊥平面AMD，则过M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，
∴ME为点M到面ACD的距离
由（II）知，ME==
令t=2a（2-a），则1≥t＞0，ME===
∴t=1时，ME取得最大值，此时M是AD的中点．