Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．

x	-1		2	4	5
f（x）	1	2		2	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）在[0，1]上是减函数；
②如果当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为4；
③函数y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2；
④已知（a，b）是的一个单调递减区间，则b-a的最大值为2．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

由导数图象可知，函数的单调性，故可判断①；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析t取不同值时，函数的最大值变化情况，可判断②；结合表格中几个特殊点的函数值，结合函数的单调性，分析函数的极值，分析可判断③；根据f（x）的单调性，分析出的单调性，进而求出b-a的最大值．
【解析】
由导数图象可知，
当-1＜x＜0或1＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜1或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，所以①正确；
当x=0和x=4，函数取得最大值f（0）=2，f（4）=2，
当x∈[-1，t]时，f（x）最大值是2，那么t的最大值为5，故②不正确；
由f（-1）=f（5）=1，结合函数的单调性，
可得若y=f（x）-a有4个零点，则1≤a＜2，故③正确；
∵的单调性与y=f（x）的单调性相反，
结合的定义域为[-1，a）∪（a，2）∪（2，5]，其中a∈（0，1）
故在（-1，0），（a，2），（2，4）上为减函数，
故（a，b）是的一个单调递减区间，则b-a的最大值为2，故④正确
故四个命题中有3个为真命题
故选B