Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+（2n+1）cⁿ⁺¹（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明你的猜想．

Answer

（1）由a1=1，a2=ca1+c2•3=3c2+c，a3=ca2+c3•5=8c3+c3，a4=ca3+c4•7=15c4+c3即得；
（2）根据a1，a2和a3猜测an=（n2-1）cn+cn-1，进而用数学归纳法证明；
【解析】
（1）由，；
（2）猜想：；
①当n=1时，，猜想成立；
②假设n=k时，猜想成立，即：，
则n=k+1时，
=（k2-1+2k+1）ck+1+ck=[（k+1）2-1]ck+1+c（k+1）-1
猜想成立．
综合①②可得对n∈N*，成立．