Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2．  
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；
（2）首先对f（x）=-2+1求导，可得f'（x）=10x3-9x，令f′（x）＞0解之即可求出函数的单调递增区间．
【解析】
（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，
f'（x）=4ax3+2bx，k=f'（1）=4a+2b=1（4分）
切点为（1，-1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，-1），
得a+b+c=-1，得a=，b=-
f（x）=-2+1（8分）
（2）f'（x）=10x3-9x＞0，-＜x＜0，或x＞
单调递增区间为（，-，0），（，+∞）（12分）