Question

如图，设P是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}为单调递减数列；
③对于∀n∈N，∃x＞1，使得y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为    ．

Answer

求出过点Pn作抛物线的切线方程为，证明数列{xn}为公比为的等比数列，即可得到结论．
【解析】
记Pn（xn，yn），则
∵抛物线y=x2，∴y′=2x，
∴过点Pn作抛物线的切线方程为，即
令y=0，则，∴
∴数列{xn}为公比为的等比数列
∵P是抛物线y=x2上一点，且在第一象限，
∴xn＞0；数列{xn}为单调递减数列；
y+y1+y2+…+yn=++…+=
∴0＜x＜时，y+y1+y2+…+yn＜2．
∴∃x＞1，使得y+y1+y2+…+yn＜2．
故正确结论的序号为①②③
故答案为：①②③．