Question

设函数f（x）=x²-aln（x+1），其中a∈R．
（Ⅰ）若f'（1）=0，求a的值；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式都成立．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用f'（1）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（Ⅲ）令g（x）=x2-ln（x+1）-x3（0＜x≤1），证明ln（x+1）＞x2-x3，令x=，可得，即，利用叠加法即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
求导函数，可得
∵f′（1）=0，∴，∴a=4；
（Ⅱ）【解析】
当a＜0时，令f′（x）＜0可得-1＜x＜，令f′（x）＞0可得x＞，
∴当a＜0时，函数的单调减区间是（-1，），单调增区间是（，+∞）；
（Ⅲ）证明：令g（x）=x2-ln（x+1）-x3（0＜x≤1），
则g′（x）=，当0＜x≤1时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴x2-ln（x+1）-x3＜0
∴ln（x+1）＞x2-x3，
令x=，则，∴
∴＜ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn=ln（n+1）
∴不等式都成立．