根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分,从而可得直线AB的斜率k=-,直线AB与椭圆有两个交点,且AB的中点M在直线y=4x+m,可设直线AB 的方程为y=,联立方程整理可得13x2-8bx+16(b2-3)=0可求中点M,由△=64b2-4×13×16(b2-3)>0可求b的范围,由中点M在直线y=4x+m可得m,b 的关系,从而可求m的范围
【解析】
设椭圆上关于直线y=4x+m对称的点A(x1,y1),B(x2,y2),
则根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分.
可得直线AB的斜率k=-,直线AB与椭圆有两个交点,且AB的中点M(x,y)在直线y=4x+m,
故可设直线AB 的方程为y=,
整理可得13x2-8bx+16(b2-3)=0,
所以,,
由△=64b2-4×13×16(b2-3)>0可得,
所以代入直线y=4x+m可得m=
所以,.