Question

已知a＞0，b＞0，抛物线f（x）=4ax²+2bx-3在x=1处的切线的倾斜角为，则的最小值是    ．

Answer

求导函数，确定切线的斜率，利用抛物线f（x）=4ax2+2bx-3在x=1处的切线的倾斜角为，确定8a+2b=1，再利用“1”的代换，利用基本不等式，即可求得最小值．
【解析】
求导函数，可得f′（x）=8ax+2b，
∴x=1时，f′（1）=8a+2b，
∵抛物线f（x）=4ax2+2bx-3在x=1处的切线的倾斜角为，
∴8a+2b=1
∴==10+
∵a＞0，b＞0
∴=8（当且仅当a=，b=时，取等号）
∴的最小值是18
故答案为：18．