Question

已知f（x）为偶函数，且x＞0时，．
（1）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性，并证明；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）时函数f（x）的解析式．

Answer

（1）利用函数的单调性的定义进行判断和证明即可
（2）由（1）可知函数f（x）在区间[，2]上的单调性，结合单调性及已知函数的 值域可求a
（3）可设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），结合已知x＞0时的函数解析式及函数为偶函数可求
（本小题满分14分）
【解析】
（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．．…（1分）
证明如下：
任取0＜x1＜x2
f（x1）-f（x2）=
==．…（3分）
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数..…（6分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[，2]上是增函数，值域为[]，．…（7分）
∴f（）=，f（2）=2，．…（9分）
即，解得a=..…（11分）
（3）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=．…（12分）
又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）==..…（14分）