Question

已知函数f（x）=2-2a^x-a^2x（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-1，2]时，函数f（x）的最小值为-6，求a的值并求函数f（x）的最大值．

Answer

（1）令 ax=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t2=3-（t+1）2．再根据 （t+1）2＞1，求得
函数f（x）的值域为．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得 ≤t≤a2，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）2 在
区间[，a2]上是减函数，根据函数f（x）的最小值为-6，求得a的值，进而求得函数取得最大值．
②当 0＜a＜1时，同理求得得a的值以及函数的最大值．
【解析】
（1）令 ax=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t2=3-（t+1）2．
由于 （t+1）2＞1，∴f（x）＜2，故函数f（x）的值域为（-∞，2）．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得，≤t≤a2，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）2 在
区间[，a2]上是减函数，
故当t=a2时，函数f（x）取得最小值为 3-（a2+1）2=-6，解得 a=；故当t==时，
函数取得最大值为-．
②当 0＜a＜1时，由x∈[-1，2]可得，≥t≥a2，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）2 在
区间[a2，]上是减函数，
故当t=时，函数f（x）取得最小值为 3-=-6，解得 a=，
故当t=a2=时，函数取得最大值为3-=．
综上可得，a的值等于，函数f（x）的最大值为-；或者是a=，函数的最大值为 ．