Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），且离心率e=．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．

Answer

（I）利用右焦点为F（，0），且离心率e=，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用M，O，P三点共线，求出斜率，求出相应距离，利用配方法，即可得出结论．
【解析】
（I）由题意，c=
由e=，可得a=2
∴b2=a2-c2=1
∴椭圆C的标准方程为=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性，可得点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件；
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=，x1x2=
∴M（，）
∵M，O，P三点共线，
∴kOM=kOP
∴2m=-4km
∵m≠0，∴
此时方程为x2-2mx+2m2-2=0
由△＞0，可得，且x1+x2=2m，x1x2=2m2-2
∴|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=10-5m2
∵d=
∴=-2（m+1）2+12
∵
∴m=-1时，的最大值为12．