Question

已知函数f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若a∈[0，1]，设h（x）=f（x）-f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），求函数h（x）在区间[0，1]的最大值；
（Ⅲ）若a=1，试判断当x＞1时，方程f（x）=x实数根的个数．

Answer

（Ⅰ）函数y=f（x）在x=2处的切线斜率为k=f′（2），应用直线的点斜式写出切线方程
（Ⅱ）h（x）=f（x）-f'（x）=[-2ax+（a+1）]ex，h′（x）=（-2ax-a+1）ex，利用导数研究在[0，1]上的单调性，注意进行分类讨论，得出最大值
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，问题可转换为判定方程（x-1）2ex=x，x＞1的实根的个数．设φ（x）=（x-1）2ex-x，利用数形结合的思想，研究出y=φ（x）在（1，+∞）上只能有一个零点即可．
【解析】
（Ⅰ）若a=1，则f（x）=（x2-2x+1）ex，f′（x）=（x 2-1）ex
∴切线的斜率k=f′（2）=3e2
又切点的坐标为（2，e2），
∴切线方程为y-e2=3e2（x-2），即3e2x-y-5e2=0
（Ⅱ）由f′（x）=[ax2+（a-1）x-a]ex
得h（x）=f（x）-f'（x）=[-2ax+（a+1）]ex
，h′（x）=（-2ax-a+1）ex
，（1）当a=0时，h′（x）=ex＞0对x∈[0，1]恒成立，所以h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）max=h（1）=e
（2）当a∈（0，1]时，由h′（x）=0，得x=≥0
①当≥1时，即a∈（0，]时，h′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）max=h（1）=（1-a）e
②当1＞＞0时，即a∈（，1）时，h（x）在[0，）上单调递增，在（，1]上单调递减，h（x）max=h（）=2a
③当=0时，即a=1时，h′（x）≤0对x∈[0，1]恒成立，h（x）在[0，1]上单调递减，h（x）max=h（0）=a+1
综上，当a=0时，h（x）max=e，当a∈（0，]时，h（x）max=）=（1-a）e
当a∈（，1）时，h（x）max=2a，当a=1时，h（x）max=a+1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，问题可转换为判定方程（x-1）2ex=x，x＞1的实根的个数．设φ（x）=（x-1）2ex-x，则φ′（x）=（x2-1）ex-1，再设k（x）=（x2-1）ex-1，x＞1，则k′（x）=ex（x2+2x-1）
x＞1时，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）上单调递增，又k（1）=-1＜0，k（2）=3e2-1＞0，所以在（1，2）上存在唯一x，使得k（x）=0即存在唯一x，使得φ′（x）=0．
从而φ（x）在（1，x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增，φ（x）＜φ（1）=-1＜0，又φ（2）=e2-2＞0故y=φ（x）的大致图象如图所示．
因此y=φ（x）在（1，+∞）上只能有一个零点．即当x＞1时，f（x）=x只有一个实根．