Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（I）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（II）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（III）若b=-1，证明对任意的正整数n，不等式成立．

Answer

（Ⅰ）由x+1＞0，得f（x）的定义域为（-1，+∞）．因为对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），所以f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0由此能求出b．
（Ⅱ）由，函数f（x）在定义域上是单调函数，知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．由此能求出实数b的取值范围．
（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）=x2-ln（x+1）．令h（x）=f（x）-x3=-x3+x2-ln（x+1），则．由此入手能够证明．
【解析】
（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞-1．
∴f（x）的定义域为（-1，+∞）．…（1分）
因为对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0．…（2分）
，
∴2+=0，解得b=-4．      …（3分）
经检验，b=-4时，f（x）在（-1，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增．
f（1）为最小值．故得证． …（4分）
（Ⅱ）∵=，
又函数f（x）在定义域上是单调函数，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．…（6分）
若f′（x）≥0，则2x+≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x2-2x=-2（x+）2+恒成立，由此得b；…（8分）
若f′（x）≤0，则2x+≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≤-2x2-2x=-2（x+）2+恒成立．
因在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f′（x）≤0恒成立．
综上所述，实数b的取值范围是[）．…（10分）
（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）=x2-ln（x+1）．
令h（x）=f（x）-x3=-x3+x2-ln（x+1），
则=-．
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，
所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（0）=0，∴当x∈[0，+∞）时，恒有h（x）＜h（0）=0，
即x2-ln（x+1）＜x3恒成立．
故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．…（12分）
∵k∈N*，∴．
取，则有．
∴．
所以结论成立． …（14分）