Question

正四面体的内切球（与正四面体的四个面都相切的球）与外接球（过正四面体四个顶点的球）的体积比为（ ）
A．1：3
B．1：9
C．1：27
D．与正四面体的棱长无关

Answer

作出正四面体A-BCD的高DE，延长CE，交AB于G，连接DG，过C作DG边上的高CF．在△CDG中加以研究，可得DE、CF的交点I就是内切球和外接球公共的球心，设正四面体棱长为1，可算出CE、GE、ED的长，利用Rt△DEG∽Rt△CEI得线段成比例，从而得出EI=，DI=，由此不难得到R与r的比值，从而得出体积比．
【解析】
过点D作DE⊥平面ABC，垂足为E，则E是正三角形ABC的中心
则根据球的对称性和正四面体的性质，得外接球和内切球的球心在同一点处，设为I，则I在高线DE上
延长CE，交AB于G，连接DG，过C作DG边上的高CF，则I在CF上
I到平面ABC的距离IE等于内切球半径r，ID=IC=R是外接球半径
设正四面体棱长为1，则
正△ABC中，CG=，CE=CG═，GE=CG=，
Rt△DEG中，DG=CG=，可得DE==
∵Rt△DEG∽Rt△CEI，
∴=，即 ：EI=：，可得EI=，所以ID=DE-EI=即r=，R=，
可得 =1：3，体积比为1：27．
故选C．