Question

已知展开式中的二项式系数之和比（2x+x^lgx）²ⁿ展开式中奇数项的二项式系数之和小112，且第二个展开式中二项式系数最大的项等于1120，求第二个式子中x的值．

Answer

令t=2n＞0，依题意，t2-t-112=0，从而可求得t及n的值，于是，可得第二个式子为：（2x+xlgx）8，依题意，利用二项展开式的通项公式可求得x4+4lgx=1，两边取常用对数，即可求得lgx的值，继而可得x的值．
【解析】
令t=2n＞0，则t2-t-112=0…3′
解得：t=16或t=-14（舍去），
∴2n=16⇒n=4…5′
于是，第二个式子为：（2x+xlgx）8…7′
由题意得：T5=（2x）4（xlgx）4
=1120x4+4lgx=1120，
∴x4+4lgx=1…9′
两边取常用对数，变形整理得：4lg2x+4lgx=0…10′
∴lgx=0或-1，
∴第二个式子中x的值为1或…12′