Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（1）=1，f（-1）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥x成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-mx（m∈R），且g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由f（1）=1，f（-1）=0，得方程组，推出b=a+c=，由对任意实数x，恒有f（x）≥x成立，得不等式组，利用基本不等式即不等式的性质可求得a，b，c的值；
（2）由（1）可得f（x）表达式，从而可表示出g（x），根据二次函数的性质知，要使g（x）满足题意，须有对称轴不在区间[-1，1]内部，从而可得不等式组，解出即可；
【解析】
（1）由题意得：，则b=a+c=，
又对任意实数x，都有f（x）≥x，即0，
则必须⇒，
于是c＞0，所以⇒，
所以只有ac=，与a+c=联立解得：a=c=，
综上可得：a=，b=，c=；
（2）由（1）解得：f（x）=，于是g（x）=f（x）-mx=，
要使g（x）在x∈[-1，1]上严格单调，则必须：
对称轴x=2m-1≤-1或2m-1≥1，解得：m≤0或m≥1，
则所求的实数m的范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．