(1)由定积分计算公式,结合微积分基本定理算出.再利用导数,研究F'(x)的正负,即可得到函数F(x)的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2).
(2)根据F(x)的单调性,分别求出F(1)、F(2)、F(3)的值并比较大小,可得F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=-6,最小值是.
【解析】
依题意得,,
定义域是(0,+∞).(2分)
(1)F'(x)=x2+2x-8,
令F'(x)>0,得x>2或x<-4; 令F'(x)<0,得-4<x<2,
且函数定义域是(0,+∞),
∴函数F(x)的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2).(6分)
(2)令F'(x)=0,得x=2(x=-4舍),
由于函数在区间(0,2)上为减函数,区间(2,3)上为增函数,
且,,F(3)=-6,
∴F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=-6,最小值是.(10分)