Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4x-4数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，（n∈N⁺）
（1）证明数列{a_n-1}是等比数列；
（2）设b_n=7f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在自然数M使得S_n＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N^*和任意实数x均成立，若存在求出满足条件的所有自然数M．

Answer

（1）利用f（x）、g（x）的解析式，将等式（an+1-an）g（an）+f（an）=0，化简整理得4an+1-3an-1=0，可得4（an+1-1）=3（an-1），从而得到数列{an-1}是首项a1-1=1，公比q=的等比数列；
（2）由（1）求出an=+1，代入表达式求出bn=-，再利用等比数列求和公式即可算出前n项和Sn=-16•（）2n+12•（）n+4；
（3）根据二次函数的图象与性质，并且采用换元法求出Sn=-16•（）2n+12•（）n+4的最大值为≈6.21，结合f（x）-g（x）+=x2-6x+当x=3时取得最小值为，可得不等式Sn＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N*和任意实数x均成立，即6.21≤M＜成立，解之得M=7．
【解析】
（1）∵f（x）=（x-1）2，g（x）=4x-4
∴（an+1-an）g（an）+f（an）=0，
即4（an+1-an）（an-1）+（an-1）2=0，化简得（an-1）（4an+1-3an-1）=0
∵an≠1，
∴4an+1-3an-1=0，可得4（an+1-1）=3（an-1），从而得到，
由此可得数列{an-1}是等比数列，它的首项a1-1=1，公比q=；
（2）由（1），得an=+1
∴f（an）=，g（an+1）=4•，
可得bn=7f（an）-g（an+1）=7•-4•=-，
数列{bn}的前n项和Sn=-=-16•（）2n+12•（）n+4；
（3）令t=（）n，得
Sn=-16•（）2n+12•（）n+4=-16t2+12t+4=-16（t-）2+
∵n∈N*，∴结合二次函数的图象与性质，得当n=3时t=时，Sn的最大值为≈6.21
又∵f（x）-g（x）+=x2-6x+，当x=3时取得最小值为
∴若存在自然数M，使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N*和任意实数x均成立，
则6.21≤M＜成立，解之得M=7
即存在自然数M=7，使得Sn＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N*和任意实数x均成立．