Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，顶点B₁到对角线BD₁和到平面A₁BCD₁的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（ ）
A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）
B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

Answer

设底面边长为1，侧棱长为λ，过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B，Rt△BB1D1中可知B1D1和B1D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，进而可推断BC⊥平面AA1B1B，BC⊥B1G，B1G⊥平面AB1CD1，可知B1G为点到平面A1BCD1的距离，Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得d，进而可知的表达式，根据λ来确定其范围．
【解析】
设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），
过B1作B1H⊥BD1，B1G⊥A1B．
在Rt△BB1D1中，，
由三角形面积关系得：

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB1，
所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC⊥B1G，
所以B1G⊥平面AB1CD1，
故B1G为点到平面A1BCD1的距离，
在Rt△A1B1B中，又由三角形面积关系得
于是，
于是当λ＞1，所以，
所以；
故选C．