Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，且a₂=3，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n 求证：数列{c_n}的前n项和 T_n≤1．

Answer

（1）依题意，易求d与a1，从而可求an；由Sn=1-bn，Sn-1=1-bn-1，二式相减可求得=（n≥2），从而可求得bn；
（2）利用cn=anbn=（2n-1）•，Tn=1×+3×+5×+…+（2n-3）×+（2n-1）×，用错位相减法即可求得Tn．
【解析】
（1）依题意，d==2，故a1=a2-d=1，
∴an=2n-1（n∈N*）…1分
在Sn=1-bn中，令n=1，得b1=，
当n≥2时，Sn=Sn=1-bn，Sn-1=1-bn-1，
两式相减得bn=bn-1-bn，
∴=（n≥2）…4分
∴bn=•=（n∈N*）…5分
（2）cn=anbn=（2n-1）•…6分
Tn=1×+3×+5×+…+（2n-3）×+（2n-1）×，
Tn=1×+3×+…+（2n-3）×+（2n-1）×…7分，
两式相减得：
Tn=+2[++…+]-（2n-1）×
=+2×-（2n-1）×…9分，
∴Tn=1-×（n+1）…11分
∵n∈N*，
∴Tn≤1…12分