Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）对于∀n∈N^*，试比较a_n、b_n的大小并用数学归纳法证明你的结论．

Answer

（I）利用等差数列，等比数列定义求出d，q，得出通项公式an=2n，bn=2n即可
（Ⅱ）直接作差或作商不易比较，考虑到与自然数n有关，可先比较几组，进行大小关系的猜想，用数学归纳法证明．
【解析】
（I）∵a1=b1=2，a2=b2=4．∴等差数列{an}的公差d=2，等比数列{bn}的公比q=2
所以an=2+（n-1）×2=2n，bn=2×2n-1=2n
（Ⅱ）由已知，
当n=1，2时，an=bn，
当n=3时，a3=6，b=8，an＜bn
当n=4时，a3=8，b=16，an＜bn
当n=5时，a3=10，b=25，an＜bn
猜测当n≥3时，an＜bn
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=3时，a3=6，b=8，an＜bn成立
（2）假设当n=k（k≥3）时成立，即2k＜2k，
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即an+1＜bn+1，所以当n=k+1时也成立
由（1）（2）可知当n≥3时，an＜bn都成立．