Question

函数f（x）=x²-mln+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知当m≤-（其中e是自然对数的底数）时，在x∈（-，]至少存在一点x，使f（x）＞e+1成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：当m=-1时，对任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有＜．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内取m的值讨论导函数的正负决定函数的增减性，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）在x∈（-，]至少存在一点x，使f（x）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范围．所以在根据第一问函数的增减性得到在x∈（-，]区间f（x）的最大值即可；
（Ⅲ）把m=-1代入求出f（x），然后构造辅助函数g（x）=f（x）-x，求出g′（x）并讨论得到g（x）在（0，1）为减函数，对任意0＜x1＜x2＜1，都有g（x1）＞g（x2）成立，即f（x1）-x1＞f（x2）-x2．即f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）解出即可得证．
【解析】
（Ⅰ）易知f（x）的定义域为x∈（-，+∞）．
f′（x）=x-+m==．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-．
∵m＜0，∴-m-∈（-，+∞）．
∴（1）当-≤m＜0时，则x∈（-，-m-）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m-，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m＜-时，则x∈（-，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（0，-m-）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m-，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

（Ⅱ）在x∈（-，]上至少存在一点x，使f（x）＞g+1成立，
等价于当x∈（-，]时，f（x）max＞g+1．
∵m≤-，∴≤-m-．
由（Ⅰ）知，x∈（-，0]时，f（x）为增函数，x∈[0，）时，f（x）为减函数．
∴在x∈（-，]时，f（x）max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜．
检验，上式满足m≤-，所以m＜是所求范围．

（Ⅲ）当m=-1时，函数f（x）=x2+ln-x+2．
构造辅助函数g（x）=f（x）-x，并求导得g′（x）=x+-==
显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴对任意0＜x1＜x2＜1，都有g（x1）＞g（x2）成立，即f（x1）-x1＞f（x2）-x2．
即f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）
即．又∵x2-x1＞0，∴．