Question

已知前n项和为S_n的等差数列{a_n}的公差不为零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n？若存在，求出所有正整数对（n，k）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用等差数列中a4，a5，a8成等比数列，求出数列的公差，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）假设存在正整数对（n，k），使得nan=kSn，则由（1）知Sn=6n-n2，从而可得k=2+，由此可得结论．
【解析】
（1）因为a4，a5，a8成等比数列，所以a=a4a8．
设数列{an}的公差为d，则（a2+3d）2=（a2+2d）（a2+6d）．
将a2=3代入上式化简整理得d2+2d=0，
又因为d≠0，所以d=-2．
于是an=a2+（n-2）d=-2n+7，即数列{an}的通项公式为an=-2n+7．
（2）假设存在正整数对（n，k），使得nan=kSn，则由（1）知Sn==6n-n2．
当n=6时，nan=kSn不成立，于是k====2+．
因为k为正整数，所以n-6≤5，即n≤11，且5被n-6整除，
故当且仅当n-6=±5，或n-6=1时，k为正整数．
即当n=1时，k=1；n=11时，k=3；n=7时，k=7．
故存在正整数对（1，1），（11，3），（7，7），使得nan=kSn成立．