Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求证：f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer

（1）x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），从而有f（-x）==，再由f（-x）=-f（x）即可求得f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用单调性的定义证明即可．先设0＜x1＜x2＜1，再作差f（x1）-f（x2）化积后判断即可．
【解析】
（1）∵f（-x）=-f（x），x∈（0，1）时，，
∴当x∈（-1，0）时，；
（2）证明：设0＜x1＜x2＜1，则

=
═
∵0＜x1＜x2＜1，
∴，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，1）是减函数．