Question

设α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根，当m为何值时，α²+β²有最小值？并求出这个最小值．

Answer

由已知中α，β是方程4x2-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根，则首先应判断△≥0，即方程有两个实数根，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数）的关系，给出α2+β2的表达式，然后根据二次函数的性质，即可得到出m为何值时，α2+β2有最小值，进而得到这个最小值．
【解析】
若α，β是方程4x2-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根
则△=16m2-16（m+2）≥0，即m≤-1，或m≥2
则α+β=m，α×β=，
则α2+β2=（α+β）2-2αβ=m2-2×=m2-m-1=（m-）2-
∴当m=-1时，α2+β2有最小值，最小值是．