Question

如图△ABC中，AC=BC=AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求几何体ADEBC的体积V．

Answer

（1）取BE的中点H，连接HF，GH．通过证明GF所在的平面HGF，平面HGF∥平面ABC．然后说明GF∥平面ABC；
（2）通过证明AC⊥平面BCE，AC⊂平面ACD，然后证明平面EBC⊥平面ACD；
（3）取AB的中点N，连接CN，说明CN⊥平面ABED，求出底面面积，即可求解几何体ADEBC的体积V．
【解析】

（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．
∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE．
又∵四边形ADEB为正方形，
∴DE∥AB，从而HF∥AB．
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．
∴平面HGF∥平面ABC．
∴GF∥平面ABC．
（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB．
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC．
∴BE⊥AC．
又∵CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC．
∴AC⊥平面BCE．
从而平面EBC⊥平面ACD．
（3）取AB的中点N，连接CN，∵AC=BC，
∴CN⊥AB，且CN=AB=a．
又平面ABED⊥平面ABC，
∴CN⊥平面ABED．
∵C-ABED是四棱锥，
∴VC-ABED=SABED•CN=a2•a=a3．