Question

已知函数f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N₊），若a₁，a₂，…a_n，构成数列，f（1）=n²+2n，
（1）求a_n，
（2）求f（3）．

Answer

（1）由已知f（1）=n2+2n，可得a1+a2+…+an=n2+2n，令，当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1即可得出
（2）利用（1）即可得出．．
【解析】
（1）由已知f（1）=n2+2n，可得a1+a2+…+an=n2+2n，令，
∴当n=1时，a1=1+2=3；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]
=2n+1，n=1时也成立．
∴an=2n+1．
（2）由（1）可得an=2n+1．
∴f（3）=3×3+5×32+7×33=117．